Modern (Sembolik) Mantık

Modern (Sembolik) Mantık


Modern (Sembolik) Mantık
Modern (Sembolik) Mantık

Mantık, geçerli çıkarımlar yapmak için kural ve ilkeler saptar Çıkarımların geçerliliği denetlemeler aracılığıyla yapılır

Klasik mantık geçerli çıkarımlar için kurallar koymuşturAristoteles, gerçeğe ulaştıran tek yöntemi tümdengelim olarak saptar

Modern mantık, klasik mantık gibi yalnızca tümdengelimle (kıyasla) uğraşmamış, mantığın alanını genişleterek her türlü geçerli çıkarımla ilgilenmiştir

Modern mantık önermeler mantığı ve niceleme mantığı olmak üzere başlıca iki alana ayrılır

Önermeler Mantığı : Matematik üçgenin kenarları için a,b,c yüksekliği için h, alanı için s sembollerini kullanır ve üçgenlerin alanı için, s= ½ah formülüne ulaşır

Modern mantık da, önermelerini p,q,r,s,t,v gibi sembollerle gösterir

“Ali okula gitti” yerine “p”; “Taş ağırdır” yerine “q” ; “Tebeşir beyazdır” yerine “r” gibi semboller kullanır

Matematik, +,-,X, :, = gibi semboller kullanır Modern mantık, bağlaçları, önerme eklemeleri denilen mantık değişmezleri ile sembolleştirir Önermeler mantığın ana balıkları şunlardır :



Önerme Eklemleri : Önermeleri birbirine bağlayan bağlaçlar ve önermeleri olumsuzlaştıran eklere önerme eklemleri denir
Modern mantıkta beş temel önerme eklemi vardır

- Değilleme Eklemi (~) : Değilleme eklemi “~” sembolü ile gösterilir İsim cümlelerinde “değil”, fiil cümlelerinde “…me”, “…ma” karşılığı olarak kullanılır

“değil” ve “…me” , “…ma” olumsuzluk eklerinin kullanıldığı tüm cümlelerde “~” sembolü kullanılır

“Ali okula gitti”, “p”

“Ali okula gitmedi” , “~p”



“Taş ağırdır”, “q”

“Taş ağır değildir”, “~q”

Kural : Önermeler sembolleştirilirken ;

Aynı önermelerin yerine aynı sembollerin, farklı önermelerin yerine farklı sembollerin kullanılmasına,

Önermede geçen “değil”, “…me”, “…ma” gibi olumsuzluk bildiren eklerin yerine mutlaka değilleme ekinin (~) kullanılmasına dikkat edilmelidir

- Tümel Evetleme Eklemi (Ù) : Tümel evetleme eklemi “Ù” sembolü ile gösterilir “ve” anlamı veren tüm bağlaçların karşılığında “Ù” sembolü kullanılır

“Ali okula gitti” “p”

“Ali derse girdi” “q”

“Ali okula gitti ve derse girdi” “pÙq”

“Ali ne okula gitti ne derse girdi” “~pÙ~q”

“Ali’nin okula giiti ve derse girdiği doğru değildir” ~(pÙ q)“

- Tikel Evetleme Eklemi (Ú) : Tikel evetleme eklemi “Ú” sembolü ile gösterilir “Veya” anlamı veren tüm bağlaçların karşılığı olarak “Ú” sembolü kullanılır

“Vaya”, “Yahut”, “ya da” bağlaçlarının tümünün karşılığında tikel evetleme eklemi “Ú” kullanılır



“Ali okula gitti” “p”

“Ali maça gitti” “q”

“Ali okula gitti veya maça gitti” “pÚq”

“Ali okula gitmedi veya maça gitmedi” “~pÚ~q”

“Ali’nin okula gitmediği veya maça gitmediği doğru değildir” “~(~pÚ~q)”

- Koşul Eklemi (&THORN : Koşul eklemi “Þ” sembolü ile gösterilir “ise” anlamı veren tüm bağlaçların karşılığında “Þ” sembolü kullanılır

“Zaman”, “ise, “…se”, “…sa”, “…ce”, “için ki”, “yeter ki” gibi koşul bildiren tüm bağlaçların karşılığında koşul eklemi ”Þ” kullanılır

“Kar yağar”, “p”

“Hava soğuk olur” , “q”

“Kar yağarsa kava soğuk olur” “pÞq”

- Karşılıklı Koşul Eklemi (Û) : Karşılıklı koşul eklemi ” Û” sembolü ile gösterilir “Ancak ve ancak” anlamı veren tüm bağlaçlar karşılığında “Û” sembolü kullanılır

“Su, normal koşullarda 100°’de ısınır” “p”

“Su kaynar” “q”

“Su ancak ve ancak normal koşullarda 100°’de kaynar” , “p Û q”



Çıkarım : Verilen önermelerden zihnin sonuç çıkarmasına çıkarım denir Çıkarımda verilen önermelere öncül, öncüllerden zihnin zorunlu olarak çıkardığı önermeye ise sonuç önermesi denir
Çıkarımda, sonuç önermesinin başında “o halde”, “öyleyse”, “bu nedenle” ifadeleri bulunur ”O halde” ve yerine geçen deyişlerin karşılığı olarak “\” sembolü kullanılır

Her insan ölümlüdür (p)

Ali insandır (q)

(\) Ali ölümlüdür ( r )

çıkarımı

p,q\r olarak sembolleştirilir

Basit ve Bileşik Önermeler : Önermeler mantığında, önerme eklemi kullanılmayan önermelere basit önerme, önerme eklemleri yardımıyla kurulan önermelere bileşik önerme denir
Basit ve bileşik önermelerle ilgili üç başlık incelenecektir :

- Ana Eklem Ana Bileşenler : Bir bileşik önermeyi oluşturan önermelere ana bileşen, ana bileşenleri birbirine bağlayan ekleme ise ana eklem denir

- Yorumlama Amacıyla Sembolleştirme : Basit bir önerme ad ve yüklemden oluşur Bilinen adlar, “a”,”b”,”c” gibi sembollerle, yüklemler ise “F”, “G”, “H” gibi sembollerle gösterilir

“Tebeşir beyazdır” Gibi bir önerme “p” olarak sembolleştirilebilece ği gibi,

Tebeşir beyazdır

a F “Fa” olarak da sembolleştirilebilir

Yüklemin ad ile sembolleştirilmesiyle önermelerin ifade edilmesi, yorumlama amacı ile sembolleştirmedir

- Doğruluk Çizelgeleri : İki değerli mantığın “üçüncü halin imkansızlığı” ilkesine göre, bir önerme, “doğru” (D) ya da “yanlış” (Y) iki tür doğruluk değeri alır

Bileşik önermelerin doğruluk değerleri değilleme eklemine göre ve önerme eklemlerine göre biçimlenir ve bu tablolardan yararlanarak bileşik önermelerin doğruluk değerleri bulunur

Denetlemeler : Bu bölümde iki denetleme türü ile denetleme kuralları incelenecektir
- Doğruluk Çizelgeleri ile Denetlemeler : Doğruluk çizelgeleri ile denetlemelerde üç tür denetleme vardır Bu bölümde önermelerin tutarlılık ve geçerlilik denetlemeleri ile eşdeğerliği incelenecektir

Tutarlılık Denetlemeleri : Önermelerin tutarlılıkları, tekil önermelerin tutarlılığı ve önermelerin birlikte tutarlılığı olmak üzere iki yoldan denetlenir

Bir Önermenin Tutarlılığı : Bir önermenin tutarlı olması için doğruluk çizelgesinde en az bir yorumunun doğru (D) olması gerekir

Önermelerin Birlikte Tutarlılığı : Doğruluk çizelgesinde en az bir kere birlikte doğru (D) değeri alan önermeler birlikte tutarlıdır

Geçerlilik Denetlemeleri :Geçerlilik denetlemeleri tek bir önermenin geçerliliğini ve çıkarımların geçerliliğini içerir

Bir önermenin geçerliliği : Doğruluk çizelgesinde tüm yorumları D olan önerme geçerlidir

Çıkarımların geçerliliği : Bir çıkarımın geçerli olması doğru öncüllerden yanlış sonucun çıkmamasıdır Çıkarımların geçerliliği denetlenirken sonuç önermesi değillenir

Sonuç önermesinin değillenmesi ile öncüller birlikte tutarsız ise çıkarım geçerli,

Sonuç önermesinin değillenmesi ile öncüller birlikte tutarlı ise çıkarım geçersizdir

Önermelerin Eşdeğerliği : Doğruluk çizelgesinde bütün yorumların doğruluk değeri aynı olan önermeler eşdeğer (denk) dir

- Çözümleyici Çizelgeleri ile Denetlemeler : Çözümleyici çizelgelerle yapılan denetlemeler beş başlık altında toplanabilir

Bir Önermenin Tutarlılığı : Çözümleyici çizelgelerle yapılan denetlemelerde bir önermenin tutarlılığı, tümel ve tikel evetleme eklemlerinin çözümleme kurallarını içerir

Tümel Evetleme Ekleminin Çözümleme Kuralı : Tümel evetleme eklemiyle yapılan bir bileşik önermenin tutarlılığı denetlenirken ana bileşenler alt alta yazılarak anahtar açılır Anahtarın içinde yer alan çözülmüş önermelerin (p, ~p gibi) en az birinin bile karşıtı varsa, önerme tutarsız; hiçbirinin karşıtı yoksa, önerme tutarlıdır

UYARI : Tutarsız önermelerin çözümleme yolunun altına yol kapalı anlamında ( X ) işareti konulur

Tikel Evetleme Ekleminin Çözümleme Kuralı : Tikel evetleme eklemiyle yapılan bir bileşik önermenin tutarlılığı denetlenirken ana bileşen sayısı kadar çatal açılır Her iki çatalın altına bir ana bileşen yazılır

Her bir çatalın altındaki önermenin (bileşenin) karşıtı yoksa önerme tutarsızdır

UYARI : Yalnızca tikel evetleme eklemi ile yapılan önermeler her koşulda tutarlıdır

Önermelerin Birlikte Tutarlılığı : Çözümleyici çizelge ile önermelerin birlikte tutarlılığı denetlenirken tümel ve tikel evetleme eklemlerin çözümleme kuralları uygulanır

UYARI : Ù’nin Ú ‘ye göre işlem önceliği olduğunu unutmayalım

Bir Önermenin Geçerliliği : Bir önermenin geçerliliği çözümleyici çizelge ile denetlenirken, önce önermenin değillemesi alınır Değillemesi tutarsız olan önerme geçerli, değillemesi tutarlı olan önerme geçersizdir

Tüm yorumları Y olan önerme tutarsızdır

O halde, değillemesi tutarsız olan önerme her koşulda geçerlidir

Çıkarımların Geçerliliği : Çıkarımların geçerliliğini denetlerken, sonuç önermesini değilleyerek öncüllerle birlikte tutarlı olup olmadığını denetlediğimiz doğruluk çizelgesi ile denetlemeleri görmüştük

Önermelerin Eşdeğerliliği : Çözümleyici çizelge ile önermelerin eşdeğerliği denetlenirken, eşdeğerliği araştıran önermeler arasına karşılıklı koşul eklemi (Û) konur

Elde edilen önerme geçerli ise önermeler eşdeğerdir

Denetleme Kuralları :

Bir önermenin tutarlı olması için doğruluk çizelgesinde en az bir kere D değeri alması gerekir

Bir önermenin tutarsız olması için doğruluk çizelgesindeki tüm yorumların (sütunun) Y olması gerekir

Önermelerin birlikte tutarlı olması için doğruluk çizelgesinde en az bir kere birlikte D değeri almaları gerekir

Bir önermenin geçerli olması için ;

Doğruluk çizelgesindeki tüm yorumların (sütunun) D’lerden oluşması gerekir

Değillemesinin tutarsız olması gerekir

Bir çıkarımın geçerli olması için doğru öncüllerden yanlış sonuç çıkmaması gerekir Bunun için de sonuç önermesinin değillemesi ile öncüllerin birlikte tutarsız olması gerekir

Önermelerin eşdeğer olması için;

Önermelerin doğruluk çizelgesindeki tüm yorumların aynı olması gerekir

Eşdeğerliği istenen önermeler arasına Û konduktan sonra elde edilen önermenin geçerli olması gerekir

- Tutarlılık, Geçerlilik, Eşdeğerlik İlişkileri :

Tutarlı önermeler geçerli de geçersiz de olabilir

Tutarsız önermeler mutlaka geçersizdir

Geçerli önermeler mutlaka tutarlıdır

Geçersiz önermeler tutarlı da tutarsız da olabilir

Tüm geçerli önermeler eşdeğerdir

Tüm tutarsız önermeler eşdeğerdir

Niceleme Mantığı

Önermelerin niceleyicilerini de (her, bazı) sembolleştirip niceleyicileri de dikkate alarak denetlemeler yapan mantık alanı niceleme mantığıdır Niceleme mantığına yüklemler mantığı da denir Yüklemler mantığı önermeleri iç yapıları ile sembolleştirir

Niceleme mantığının konuları şunlardır :

Niceleyiciler : Niceleme mantığında karşımıza iki yeni sembol çıkar Tümel niceleyici (") = “her” anlamına gelir Önermeler mantığındaki tümel evetleme eklemini (Ù) karşılar

Tikel niceleyici ($) =”bazı” anlamına gelir Önermeler mantığındaki tikel evetleme eklemini (Ú) karşılar

Niceleme mantığında, önermeler mantığından farklı olarak yüklemler (F, B, H) ve bilinmeyen adlar (X, Y, Z) olarak sembolleştirilir

Bilinen adlar yerine “a”, “b”, “c”, bilinmeyen adlar yerine “x”, “y”, “z” sembolleri kullanılır

Niceleme mantığında,



Bütün insanlar ölümlüdür "x(FxÞGx)

" F G



O halde Ali ölümlüdür (Ga)

\ a G



" x (FxÞGx) Fa\Ga biçiminde sembolleştirilir

Niceleme mantığında olumsuz önermelerin ifadesi de aşağıdaki gibidir



Ali insan ölümlü değildir

" F ~G



önermesi

"x(Fx Þ ~Gx) biçiminde sembolleştirilir



Bazı insanlar ölümlü değildir

$ F ~G



önermesi



$x(FxÙ~Gx) biçiminde sembolleştirilir



Açık Önermeler : İçinde “x”, “y”, “z” gibi bilinmeyen adların geçtiği önermelere açık önerme denir

Gx, "xFx, $x(FxÙGx), x+y=0, x>8 gibi önermeler açık önermedir

“"x ölümlüdür” “x>8” gibi önermelerin doğruluk değerlerini bilemeyiz

FxÞGx(x insansa, x ölümlüdür) açık önermesi x değişkeniyle p(x), q(x) biçiminde gösterilir “x” in yerine “a” sabiti konulduğunda, durum p(a), q(a) biçimine dönüşür

FxÞGx önermesi özellenir ve,

FaÞGa önermesi elde edilir (FaÞGa önermesi evrensel bir önerme değildir)

Böylece önerme doğruluk değeri olan önermeye dönüşür

Açık önermeler Evrensel kümeye ( E ) göre de doğruluk değeri alırlar

Örneğin,

X için (x ölümlüdür) "xFx

Önermesinin evrensel kümesi

E: {insan, at, taş} olsun E: {a,b,c}

Evrensel kümedeki değerler x’in yerine tek tek konur



İnsan ölümlüdür Ù At ölümlüdür Ù Taş ölümlüdür

D D Y



DÙDÙYº Y doğruluk değeri alır



"xFx önermesinin E:{a,b,c} evrensel kümesindeki açılımı da,

FaÙFbÙFc olur



Tümel niceleyici bir önermenin bir evrensel kümede gerçekleşmesi için (D değerli olması) evrensel kümedeki tüm nesnelerce doğrulanması gerekir Aynı önermenin bir evrensel kümede gerçekleşmemesi için (Y değerli olması) evrensel kümedeki en az bir nesne tarafından yanlışlanması gerekir



Tikel niceleyici bir önermenin bir evrensel kümede gerçekleşmesi için (D değerli olması), evrensel kümedeki en az bir nesne tarafından doğrulanması gerekir

Aynı önermenin bir evrensel kümede gerçekleşmemesi için (Y değeri alması için), evrensel kümedeki tüm nesnelerce yanlışlanması gerekir

Bir açık önerme bir önerme eklemi ile doğruluk değeri olan bir önermeye bağlanırsa açık önerme özelliğini kaybeder

Niceleme Mantığında Önerme Çeşitleri : Niceleme mantığında tekil ve genel olmak üzere iki tür önerme vardır

Tekil Önerme : İçinde niceleyici geçmeyen (",$ bulunmayan) önerme tekil önermedir

“p”, “q”, “Fa”, “Gab”, “pÙq”, “FaÚGa”, “~p”, “~Fa” gibi tekil önermeler basit ve bileşik olmak üzere ikiye ayrılır

Basit Tekil Önerme : Önerme eklemi (“Ù”,”Ú”,”Þ”,”Û ”,”~”) almayan ve içinde niceleyici geçmeyen önermeler basit tekil önermedir (“p”, “q”,”Fa”,”Gab” gibi)

Bileşik Tekil Önerme : Önerme eklemi alan ve içinde niceleyici geçmeyen önermeler bileşik tekil önermedir (“pÞq”, “FaÚGb”,”~p”,”~F a” gibi)

Genel Önerme : "xFx, $xGx, ~"xFx,$(FxÞG x) gibi, içinde en az bir niceleyicinin geçtiği önermedir Genel önermeler de basit genel ve bileşik genel olmak üzere ikiye ayrılır

Basit Genel Önerme : Niceleyiciyi etkileyen önerme ekleminin bulunmadığı önermeler basit genel önermedir

Tümel Basit Genel Önerme :Tümel niceleyicisi bulunan ve niceleyicinin önerme eklemi almadığı önermeler tümel basit genel önermedir

Tikel Basit Genel Önerme : Tikel niceleyicisi bulunan ve niceleyicinin önerme eklemi almadığı önermeler tikel basit genel önermedir

Bileşik Genel Önerme : Niceleyiciyi etkileyen önerme ekleminin bulunduğu önermeler bileşik genel önermedir

Niceleme Mantığında Eşdeğerlik Kuralları :

1 ~"~xFxº$x~Fx

2 $xFxº"x~Fx önermeleri eşdeğerdir

Niceleme Mantığında Çözümleme Kuralları : Niceleyicilerle kurulan genel önermeler önermede bilinmeyen ad (x,y,z) geçtiği için açık önermedir Genel önermeler, bilinen bir ada (a,b,c) göre niceleyicilerden arındırılırsa önerme özellenmiş olur Bu nedenle de tümel niceleyicilerde tümel özelleme, tikel niceleyicilerde tikel özelleme kuralları uygulanır

Tümel Özelleme Kuralı : Tümel niceleyici ile yapılan bir önermede bilinmeyen adların yerine her zaman bilinen aynı adın kullanılmasına tümel özelleme kuralı denir

Tikel Özelleme Kuralı : Tikel niceleyici ile yapılan bir önermede, bilinmeyen adların yerine her biri için farklı bir bilinen adın kullanılmasına tikel özelleme kuralı denir

Modern (Sembolik) Mantık

Mantık, geçerli çıkarımlar yapmak için kural ve ilkeler saptar. Çıkarımların geçerliliği denetlemeler aracılığıyla yapılır.

Klasik mantık geçerli çıkarımlar için kurallar koymuştur. Aristoteles, gerçeğe ulaştıran tek yöntemi tümdengelim olarak saptar.

Modern mantık, klasik mantık gibi yalnızca tümdengelimle (kıyasla) uğraşmamış, mantığın alanını genişleterek her türlü geçerli çıkarımla ilgilenmiştir.

Modern mantık önermeler mantığı ve niceleme mantığı olmak üzere başlıca iki alana ayrılır.

Önermeler Mantığı : Matematik üçgenin kenarları için a,b,c yüksekliği için h, alanı için s sembollerini kullanır ve üçgenlerin alanı için, s= ½.a.h formülüne ulaşır.

Modern mantık da, önermelerini p,q,r,s,t,v gibi sembollerle gösterir.

“Ali okula gitti.” yerine “p”; “Taş ağırdır.” yerine “q” ; “Tebeşir beyazdır.” yerine “r” gibi semboller kullanır.

Matematik, +,-,X, :, = gibi semboller kullanır. Modern mantık, bağlaçları, önerme eklemeleri denilen mantık değişmezleri ile sembolleştirir. Önermeler mantığın ana balıkları şunlardır :



Önerme Eklemleri : Önermeleri birbirine bağlayan bağlaçlar ve önermeleri olumsuzlaştıran eklere önerme eklemleri denir.
Modern mantıkta beş temel önerme eklemi vardır.

- Değilleme Eklemi (~) : Değilleme eklemi “~” sembolü ile gösterilir. İsim cümlelerinde “değil”, fiil cümlelerinde “…me”, “…ma” karşılığı olarak kullanılır.

“değil” ve “…me” , “…ma” olumsuzluk eklerinin kullanıldığı tüm cümlelerde “~” sembolü kullanılır.

“Ali okula gitti”, “p”

“Ali okula gitmedi.” , “~p”



“Taş ağırdır.”, “q”

“Taş ağır değildir.”, “~q”

Kural : Önermeler sembolleştirilirken ;

Aynı önermelerin yerine aynı sembollerin, farklı önermelerin yerine farklı sembollerin kullanılmasına,

Önermede geçen “değil”, “…me”, “…ma” gibi olumsuzluk bildiren eklerin yerine mutlaka değilleme ekinin (~) kullanılmasına dikkat edilmelidir.

- Tümel Evetleme Eklemi (Ù) : Tümel evetleme eklemi “Ù” sembolü ile gösterilir “ve” anlamı veren tüm bağlaçların karşılığında “Ù” sembolü kullanılır.

“Ali okula gitti” “p”

“Ali derse girdi” “q”

“Ali okula gitti ve derse girdi” “pÙq”

“Ali ne okula gitti ne derse girdi” “~pÙ~q”

“Ali’nin okula giiti ve derse girdiği doğru değildir.” ~(pÙ q)“

- Tikel Evetleme Eklemi (Ú) : Tikel evetleme eklemi “Ú” sembolü ile gösterilir. “Veya” anlamı veren tüm bağlaçların karşılığı olarak “Ú” sembolü kullanılır.

“Vaya”, “Yahut”, “ya da” bağlaçlarının tümünün karşılığında tikel evetleme eklemi “Ú” kullanılır.



“Ali okula gitti” “p”

“Ali maça gitti” “q”

“Ali okula gitti veya maça gitti.” “pÚq”

“Ali okula gitmedi veya maça gitmedi.” “~pÚ~q”

“Ali’nin okula gitmediği veya maça gitmediği doğru değildir.” “~(~pÚ~q)”
Koşul eklemi “Þ” sembolü ile gösterilir. “ise” anlamı veren tüm bağlaçların karşılığında “Þ” sembolü kullanılır.

“Zaman”, “ise, “…se”, “…sa”, “…ce”, “için ki”, “yeter ki” gibi koşul bildiren tüm bağlaçların karşılığında koşul eklemi ”Þ” kullanılır.

“Kar yağar”, “p”

“Hava soğuk olur” , “q”

“Kar yağarsa kava soğuk olur.” “pÞq”

- Karşılıklı Koşul Eklemi (Û) : Karşılıklı koşul eklemi ” Û” sembolü ile gösterilir. “Ancak ve ancak” anlamı veren tüm bağlaçlar karşılığında “Û” sembolü kullanılır.

“Su, normal koşullarda 100°’de ısınır.” “p”

“Su kaynar.” “q”

“Su ancak ve ancak normal koşullarda 100°’de kaynar.” , “p Û q”



Çıkarım : Verilen önermelerden zihnin sonuç çıkarmasına çıkarım denir. Çıkarımda verilen önermelere öncül, öncüllerden zihnin zorunlu olarak çıkardığı önermeye ise sonuç önermesi denir.
Çıkarımda, sonuç önermesinin başında “o halde”, “öyleyse”, “bu nedenle” ifadeleri bulunur. ”O halde” ve yerine geçen deyişlerin karşılığı olarak “\” sembolü kullanılır.

Her insan ölümlüdür. (p)

Ali insandır. (q)

(\) Ali ölümlüdür. ( r )

çıkarımı

p,q\r olarak sembolleştirilir.

Basit ve Bileşik Önermeler : Önermeler mantığında, önerme eklemi kullanılmayan önermelere basit önerme, önerme eklemleri yardımıyla kurulan önermelere bileşik önerme denir.
Basit ve bileşik önermelerle ilgili üç başlık incelenecektir :

- Ana Eklem Ana Bileşenler : Bir bileşik önermeyi oluşturan önermelere ana bileşen, ana bileşenleri birbirine bağlayan ekleme ise ana eklem denir.

- Yorumlama Amacıyla Sembolleştirme : Basit bir önerme ad ve yüklemden oluşur. Bilinen adlar, “a”,”b”,”c” gibi sembollerle, yüklemler ise “F”, “G”, “H” gibi sembollerle gösterilir.

“Tebeşir beyazdır.” Gibi bir önerme “p” olarak sembolleştirilebileceği gibi,

Tebeşir beyazdır.

a F “Fa” olarak da sembolleştirilebilir.

Yüklemin ad ile sembolleştirilmesiyle önermelerin ifade edilmesi, yorumlama amacı ile sembolleştirmedir.

- Doğruluk Çizelgeleri : İki değerli mantığın “üçüncü halin imkansızlığı” ilkesine göre, bir önerme, “doğru” (D) ya da “yanlış” (Y) iki tür doğruluk değeri alır.

Bileşik önermelerin doğruluk değerleri değilleme eklemine göre ve önerme eklemlerine göre biçimlenir ve bu tablolardan yararlanarak bileşik önermelerin doğruluk değerleri bulunur.

Denetlemeler : Bu bölümde iki denetleme türü ile denetleme kuralları incelenecektir.
- Doğruluk Çizelgeleri ile Denetlemeler : Doğruluk çizelgeleri ile denetlemelerde üç tür denetleme vardır. Bu bölümde önermelerin tutarlılık ve geçerlilik denetlemeleri ile eşdeğerliği incelenecektir.

Tutarlılık Denetlemeleri : Önermelerin tutarlılıkları, tekil önermelerin tutarlılığı ve önermelerin birlikte tutarlılığı olmak üzere iki yoldan denetlenir.

Bir Önermenin Tutarlılığı : Bir önermenin tutarlı olması için doğruluk çizelgesinde en az bir yorumunun doğru (D) olması gerekir.

Önermelerin Birlikte Tutarlılığı : Doğruluk çizelgesinde en az bir kere birlikte doğru (D) değeri alan önermeler birlikte tutarlıdır.

Geçerlilik Denetlemeleri :Geçerlilik denetlemeleri tek bir önermenin geçerliliğini ve çıkarımların geçerliliğini içerir.

Bir önermenin geçerliliği : Doğruluk çizelgesinde tüm yorumları D olan önerme geçerlidir.

Çıkarımların geçerliliği : Bir çıkarımın geçerli olması doğru öncüllerden yanlış sonucun çıkmamasıdır. Çıkarımların geçerliliği denetlenirken sonuç önermesi değillenir.

Sonuç önermesinin değillenmesi ile öncüller birlikte tutarsız ise çıkarım geçerli,

Sonuç önermesinin değillenmesi ile öncüller birlikte tutarlı ise çıkarım geçersizdir.

Önermelerin Eşdeğerliği : Doğruluk çizelgesinde bütün yorumların doğruluk değeri aynı olan önermeler eşdeğer (denk) dir.

- Çözümleyici Çizelgeleri ile Denetlemeler : Çözümleyici çizelgelerle yapılan denetlemeler beş başlık altında toplanabilir.

Bir Önermenin Tutarlılığı : Çözümleyici çizelgelerle yapılan denetlemelerde bir önermenin tutarlılığı, tümel ve tikel evetleme eklemlerinin çözümleme kurallarını içerir.

Tümel Evetleme Ekleminin Çözümleme Kuralı : Tümel evetleme eklemiyle yapılan bir bileşik önermenin tutarlılığı denetlenirken ana bileşenler alt alta yazılarak anahtar açılır. Anahtarın içinde yer alan çözülmüş önermelerin (p, ~p gibi) en az birinin bile karşıtı varsa, önerme tutarsız; hiçbirinin karşıtı yoksa, önerme tutarlıdır.

UYARI : Tutarsız önermelerin çözümleme yolunun altına yol kapalı anlamında ( X ) işareti konulur.

Tikel Evetleme Ekleminin Çözümleme Kuralı : Tikel evetleme eklemiyle yapılan bir bileşik önermenin tutarlılığı denetlenirken ana bileşen sayısı kadar çatal açılır. Her iki çatalın altına bir ana bileşen yazılır.

Her bir çatalın altındaki önermenin (bileşenin) karşıtı yoksa önerme tutarsızdır.

UYARI : Yalnızca tikel evetleme eklemi ile yapılan önermeler her koşulda tutarlıdır.

Önermelerin Birlikte Tutarlılığı : Çözümleyici çizelge ile önermelerin birlikte tutarlılığı denetlenirken tümel ve tikel evetleme eklemlerin çözümleme kuralları uygulanır.

UYARI : Ù’nin Ú ‘ye göre işlem önceliği olduğunu unutmayalım.

Bir Önermenin Geçerliliği : Bir önermenin geçerliliği çözümleyici çizelge ile denetlenirken, önce önermenin değillemesi alınır. Değillemesi tutarsız olan önerme geçerli, değillemesi tutarlı olan önerme geçersizdir.

Tüm yorumları Y olan önerme tutarsızdır.

O halde, değillemesi tutarsız olan önerme her koşulda geçerlidir.

Çıkarımların Geçerliliği : Çıkarımların geçerliliğini denetlerken, sonuç önermesini değilleyerek öncüllerle birlikte tutarlı olup olmadığını denetlediğimiz doğruluk çizelgesi ile denetlemeleri görmüştük.

Önermelerin Eşdeğerliliği : Çözümleyici çizelge ile önermelerin eşdeğerliği denetlenirken, eşdeğerliği araştıran önermeler arasına karşılıklı koşul eklemi (Û) konur.

Elde edilen önerme geçerli ise önermeler eşdeğerdir.[/quote]

LOJİSTİK (SEMBOLİK MANTIK)


Modern lojistik gibi çok geniş bir araştırma alanı hakkında kısa bir yazı içinde ancak basit bir taslaktan fazlasını verme olanağı yoktur. Bu yüzden, bu yazının birinci kesiminde lojistik ve gelişimi üzerine genel olarak sözedilecek; ikinci kesimde, en az ölçüde de olsa, lojistik yöntem hakkında okuyucunun yeterli bir izlenim edinmesine gayret edilecektir. Lojistik yönteme örnek olarak da, basit önermeler kalkülü seçilmiştir. Çünkü bu kalkül, dedüksiyon kuramının temeli olarak, öbür lojistik kalküller karşısında (yüklemler kalkülü, sınıflar kalkülü, ilişkiler kalkülü, v.b.) lojistiğin içinde taşıyıcı bir rol oynar.


1. GENEL

1. Lojistik Ne Demektir?

Conturat, Itelson ve Lalande, “lojistik” sözcüğünden, bir kalkül oluşturmaya hizmet eden her türlü mantıksal teoriyi kastederler (1904). Kalkül ise, işaretler ve kurallar hakkında geliştirilmiş olan bir sistemden hareket ederek, bu işaret ve kuralların kullanımı üzerine geliştirilmiş olan bir yapma dildir.



Bir kalkülde kurallar, sadece, bu işaretlerin grafikleştirilmiş formlarını gösterirler, onların içeriksel anlamlarını değil. Lojistikte kullanılan böyle bir yapma dil, az sayıda temel simgelerden inşa edilmiş olduğundan, “lojistik” e, Anglosakson dil çevresinde ayrıca ve yaygın olarak “sembolik mantık” da denir. Ama lojistikten sık sık “matematiksel mantık” olarak da sözedilir; çünkü mantıksal kalküllerin kurulması sırasında, matematiğin işaret dili burada bir model olarak alınır; zaten ilk mantıksal kalküllerin matematikçiler tarafından geliştirildiği görülür ve matematikçiler herşeyden önce, bu kalkülleri matematiğin mantıksal temellerini açıklamak amacıyla geliştirmişlerdir.



Lojistiğin “matematiksel mantık” adıyla kazandığı bu sonuncu görünüm B. Russell ve A.N. Whitehead”ın “Principia Mathematica” (1910-1913) adlı yapıtlarıyla birlikte standartlaşmış ve klasikleşmiştir. Ama lojistiğin bu görünümü, lojistiği, matematiğin veya matematikçilerin özel mantığı gibi görme yanılgısına sürükler. Daha sonra yaygınlaşmış olan bir başka yanılgıya göre de , lojistik, belli tarzlarda kalküller geliştirme çabası içinde, yararsız bir formel oyun ya da daha da kötüsü, canlı insan düşüncesini yayan bir mekaniğin içine hapsetme, doğal dilin zenginliğini soyut bir formalizm içinde törpüleme girişimidir. Bununla ilgili olarak, slogan haline getirilmiş bir deyimle, lojistikte “tinin atomize edilmesi” nden sözedilir.



Tüm bunlara karşılık, aslında lojistik, ancak belirli ve sınırlı amaçlar için başvurulan bir araçtır; bu araç yardımıyla, dedüktif çalışan bilimlerin başvurdukları her türlü kanıtlamalar, kesinlik, kusursuzluk ve mantıksal geçerlilik bakımlarından denetlenebilir ve ayrıca, mantıksal ilişkilerin kendilerine de, kalkül olmaksızın erişilemeyecek olan bir saydamlıkla bakma olanağı doğar. G. Frege ’ye göre (1879), kalkülün yaşayan dille olan ilişkisi, mikroskopun insan gözüyle olan ilişkisiyle karşılaştırılabilir. Kalkül ve mikroskop, daha incelikli bir araştırma yapma görevini yerine getirmek bakımından mutlaka gereklidirler. Buna karşılık göz ve yaşayan dil, optik ve mantıksal bakımdan mükemmel olmamalarına rağmen ve hatta bundan dolayı, sınırsız sayıdaki görevleri pratik yoldan ulaşılmış bir etkinlik derecesinde her zaman yerine getirebilirler. Bu açıdan bakıldığında, kalkül ve mikroskop, bu gibi görevleri yerine getirme konusunda yararsızdırlar.


Modern Mantık

Mantığı zamana uydurmak için 19. yüzyılda bir dizi girişim yapıldı (George Boyle, Ernst Schröder, Gotlob Frege, Bertrand Russell ve A. N. Whitehead). Fakat, işin içine sembollerin katılması ve birtakım çekidüzen vermeler dışında bu alanda gerçek bir değişiklik yoktur. Sözgelimi dil felsefecileri tarafından büyük sözler edildi, ama bunların pek temeli yoktu. Semantik (ki bir savın geçerliliği sorunuyla uğraşır) sentakstan (ki o da aksiyom ve öncüllerden sonuçların çıkarılabilirliği sorunuyla uğraşır) ayrıştırıldı. Bunun yeni bir şey olduğu sanıldı, oysa bu, gerçekte, eski Yunanlıların çok iyi bildiği, mantık ve retorik arasındaki eski ayrımın bir kez daha elden geçirilmesinden başka bir şey değildi. Modern mantık tümel cümleler arasındaki mantıksal ilişkilere dayanır. İlgi odağı, kıyastan farazi ve ayrık argümanlara kaymıştır. Bu pek de soluk verici yeni bir sıçrama değildir. İşe kıyaslar yerine cümlelerle (yargılarla) başlanabilir. Hegel bunu Mantık adlı eserinde yapmıştı. Bu düşüncede büyük bir devrim olmaktan çok, destedeki kartların yeniden karılmasına benzer.

Russell ve Wittgenstein tarafından geliştirilen sözde “atomik yöntem” (ki daha sonra Wittgenstein tarafından reddedilmiştir), fizikle yüzeysel ve bulanık bir analoji kurarak, dili kendi “atomlarına” ayırmaya çalıştı. Dilin temel atomunun, basit cümle olduğu varsayıldı. Ondan da bileşik cümleler çıkıyordu. Wittgenstein her bilim –fizik, biyoloji, ve hatta psikoloji– için bir “biçimsel dil” geliştirmenin hayalini kurdu. Cümleler, eski özdeşlik, çelişki ve ara durumun dışlanması yasalarına dayanan bir “gerçek testine” tâbi tutuldular. Gerçekte temel yöntem tamamen aynı kalmıştı. “Gerçek değer”, bir “ya ... ya da”, “evet ya da hayır”, “doğru ya da yanlış” sorunudur. Yeni mantık, önermeler mantığı olarak anılmaktadır. Ama gerçek şu ki, bu sistem eskiden en temel (kategorik) kıyasın ele aldığı argümanlarla bile başa çıkamamaktadır. Dağ fare doğurmuştur.

Gerçek şudur ki, “maddenin yapı taşları”nın linguistik eşdeğeri olduğu düşünülmesine rağmen, basit cümle bile gerçekte anlaşılmamıştır. En basit yargı bile, Hegel’in işaret ettiği gibi, bir çelişki barındırır. “Sezar bir insandır”, “Fido bir köpektir”, “ağaç yeşildir”, hepsi özelin evrensel olduğunu dile getirirler. Bu cümleler basit görünürler, ama gerçekte öyle değildirler. Sadece doğa ve toplumdan değil, düşünce ve dilden de tüm çelişkileri kapı dışarı etmeye azmetmiş biçimsel mantık için bu bir yasak kitaptır. Önermeler mantığı, Aristoteles tarafından İ.Ö. 4. yüzyılda geliştirilmiş aynı temel postülalardan, yani ilâve olarak çift yadsıma yasasının da eklendiği, özdeşlik yasası, çelişki (çelişmezlik) yasası ve ara durumun dışlanması yasasından hareket eder. Normal harfler yerine sembollerle ifade edilen bu postülalar şöyledir:

a) p = p

b) p = ~ p

c) p V = ~ p

d) ~ (p ~ p)

Tüm bunlar gayet güzel görünmekle beraber, kıyasın içeriğinden zerrece farklı değildirler. Dahası, sembolik mantığın kendisi de yeni bir fikir değildir. Her ne kadar hiç yayınlamamış olsa da, 1680’lerde Alman filozofu Leibniz’in verimli beyni bir sembolik mantık yaratmıştı.

Mantığa sembollerin sokulması, eninde sonunda bunların sözcük ve kavramlara çevrilmek zorunda olması gibi basit bir nedenden dolayı, bizi tek bir adım bile ileri götürmez. Bunların, bilgisayarlar ve benzeri bazı teknik işlemlerde daha güvenilir olan bir kısaltma biçimi olarak avantajları vardır, ama içerik eskisiyle tıpatıp aynıdır. Kafa karıştırıcı matematiksel semboller dizisine, tıpkı Mısır ve Babil’in rahip kastlarının, bilgilerini kendilerine saklamak için gizli sözcükler ve gizli semboller kullanmaları gibi, adeta kasıtlı olarak tasarlanmış gerçek bir Bizans jargonu eşlik eder. Tek fark, onların gerçekte, örneğin göksel cisimlerin hareketi gibi, neyin bilmeye değer olduğunu bilmeleriydi, ki bunu modern mantıkçılar için söylemek mümkün değildir.

“Monadik yüklemler”, “niceleyiciler”, “tekil değişkenler” vesaire gibi terimler, biçimsel mantığın dikkate alınması gereken bir bilim olduğu izlenimini vermek için tasarlanmıştır, zira insanların çoğu için anlaşılması çok güçtür.* Üzülerek söyleyelim ki, bir inançlar bütününün bilimsel değeri, dilinin kapalılığıyla doğru orantılı değildir. Eğer öyle olsaydı, tarihteki her dinsel mistik, hepsi bir arada, Newton, Darwin ve Einstein kadar büyük bir bilimci olurdu.

Moliere’nin Kibarlık Budalası adlı komedisinde M. Jourdain, tüm hayatı boyunca farkına varmaksızın yavan konuştuğu kendisine söylendiğinde çok şaşırır. Modern mantığın yaptığı, tüm eski kategorileri tekrarlamaktan ibarettir, ama o, hiçbir surette yeni bir şey söylenmediği gerçeğini gizlemek için, işin içine birkaç sembol ve kulağa hoş gelen terim katmaktadır. Aristoteles uzun zaman önce “monadik yüklemler”i (bir özelliği bir bireye atfeden ifadeler) kullandı. Şüphesiz Aristoteles de, M. Jourdain gibi, bilmeden, hep Monadik Yüklemleri kullanmış olduğunu keşfetmekten mutluluk duyardı. Ama bu, gerçekte yapmakta olduğu şeyde küçücük bir fark bile yaratmazdı. Yeni etiketlerin kullanılması, kavanozdaki reçelin muhtevasını değiştirmez. Aynı şekilde jargon kullanımı da, çağdışı düşünce biçimlerini daha geçerli kılmaz.

Hazin gerçek şudur ki, biçimsel mantık 20. yüzyılda kendi sınırlarına ulaşmıştır. Bilimin her yeni ilerlemesi ona yeni bir darbe indirmektedir. Tüm biçimsel değişikliklere rağmen temel yasalar aynı kalmıştır. Bir şey nettir. Son yüz yıl içinde biçimsel mantıkta, önce önermeler mantığı, sonra da alt yüklemler mantığı ile gerçekleşen gelişmeler konuyu öyle rafine bir noktaya getirmiştir ki, artık daha öte gelişme olanaksızdır. En kapsamlı biçimsel mantık sistemine ulaşmış bulunuyoruz, artık herhangi bir ekleme kesinlikle yeni hiçbir şey katmayacaktır. Biçimsel mantık söylemesi gereken her şeyi söylemiştir. Gerçeği söylemek gerekirse, o bu aşamaya ulaşalı uzun zaman olmuştur.

Son zamanlarda zemin, muhakeme noktasından sonuç türetimi noktasına kaymıştır. “Mantığın teoremleri nasıl türetilmiştir?” Bu oldukça zayıf bir zemindir. Biçimsel mantığın temeli geçmişte hep doğru kabul edilmişti. Biçimsel mantığın teorik temellerinin baştan sona bir araştırılması, kaçınılmaz olarak bunları karşıtlarına dönüştürmekle sonuçlanır. Matematikte Sezgici Ekolün kurucusu olan Arend Heyting, klasik matematikte kullanılan bazı kanıtların geçerliliğini reddetmektedir. Ancak, mantıkçıların çoğu eski biçimsel mantık yasalarına, boğulan adamın saman çöpüne yapışması gibi umutsuzca sarılmaktadır.

Öklid-dışı bir geometri olması anlamında Aristoteles-dışı bir mantık olduğuna, yani Aristocu çelişki ilkesi ve ara durumun dışlanması ilkesinin tersinin doğru olduğu ve bunlardan geçerli çıkarımlar yapıldığı bir mantık sistemine inanmıyoruz.[17]

Bugün biçimsel mantığın iki ana dalı vardır: önermeler mantığı ve yüklemler mantığı. Hepsi, “mümkün tüm dünyalarda”, her koşulda doğru olduğu varsayı*lan aksiyomlardan yola çıkar. Temel sınama hâlâ, çelişkiden arınmışlıktır. Çelişkili her şey “geçersiz” olmaya mahkûmdur. Bunun, meselâ basit bir evet-hayır işlemine ayarlanmış bilgisayarlarda bir uygulaması vardır. Ne var ki, gerçekte bu tür tüm aksiyomlar totolojidir. Bu boş biçimler hemen her tür içerikle doldurulabilirler. Bunlar mekanik ve dışsal bir biçimde her konuya uygulanırlar. Basit lineer süreçler söz konusu olduğunda, işlerini tolere edilebilir sınırlar içinde görürler. Bu önemlidir, çünkü doğa ve toplumdaki birçok süreç aslında bu biçimde işler. Ama daha karmaşık, çelişkili ve nonlineer olgulara geldiğimizde biçimsel mantığın yasaları çöker. Bu yasaların, Engels’in açıkladığı gibi, “mümkün tüm dünyalarda” geçerli evrensel hakikatler olmaktan çok uzak, uygulamada hayli sınırlı oldukları, ve bütün bir dizi durumda kendi kifayetsizliklerini çabucak ispatladıkları derhal açığa çıkar. Dahası bu durumlar 20. yüzyılın büyük bölümünde bilimin, özellikle onun en yenilikçi bölümlerinin tam da dikkatini çeken türde durumlardır.


MODERN (Sembolik) MANTIK
· Klasik mantigin sinif-üye iliskisine dayanarak olusturdugu basit önermeler ve bunlarla yapilan dogru akil yürütme sekli olan kiyas , dogru akil yürütmenin ya da düsünmenin tamamini verememektedir.Düsünme kiyas türü çikarimlarla sinirlanamaz . Basit önermelerin disinda da önermeler vardir ve bu tür önermelerle de geçerli çikarimlarda bulunulmaktadir. O halde , Aristoteles'in kurdugu geleneksel (klasik) mantik dogru olmakla birlikte düsünmenin yalnizca bir alanini vermektedir . (Daha genis bilgi için Önermeler Mantigi konusundaki okuma parçasina bakariz)
· Günlük dilin ötesinde kullanilmakta olan bazi yapma dillerde vardir.Yapma diller uzlasma yolu ile gelistirdigimiz çesitli simgelerden olusmus dillerdir.Örnegin trafik böyle bir simgesel ya da isaretsel dildir.Ayni sekilde matematik de simgesel yani sembolik bir dildir.Matematigin sembolleri sayilar ve bazi simgelerdir.Örnegin : 2+2=4 bir tür sembolik dilin ifade biçimidir.Sembolik dil , içerikten yoksun biçimsel bir ifade türüdür. Günlük dil ise içeriksel ve çok anlamlidir.Modern mantik günlük dilin çok anlamliligindan kurtulmak için önermelerini sembolik dilde ifade ederek biçimsel olarak , klasik mantiga göre , daha nesnel olmanin yaninda daha da genis kapsamlidir.
· Modern mantik da klasik mantik gibi çikarimlari konu edinir.Çikarimda , bir seylerden bir seyler çikarmaktir.Baska bir söylemele , verilen önermelerden yeni bir önerme çikarma islemidir.Mantik yalnizca geçerli çikarimlarin kaliplarini veya formlarini bulmaya ve onlari denetlemeye çalisir.O halde , mantik geçerli çikarimlarin biçimlerini ortaya koyan disiplindir. Geçerli çikarim, dogru öncüllerden kalkarak zorunlu olarak dogru bir sonuç çikarmadir . Mantik geçerli bulduktan sonra çikarimlari bulduktan sonra onlarin denetlenmesini de çesitli yöntemlerle yapar. Denetleme , çikarimlarin geçerli olup olmadiklarini gösterir.
· Modern mantik , çesitli geçerlilik denetleme yöntemleri gelistirmistir. Böylece bu denetleme yöntemleri bizi günlük dilin çok anlamliligindan arindirarak , sembolik dilik objektifligine ve tek anlamliligina götürmektedir. Ilerde görecegimiz dogruluk tablosu ve çözümleyici çizelge yöntemi yalnizca çok kullanilan denetleme yöntemlerinden ikisidir.
Modern mantik , klasik mantigin tekligine karsilik , bir çok mantiklari içinde barindirmaktadir.Önermeler mantigi , niceleme mantigi , çok degerli mantik kiplik mantigi ve tartisma mantigi gibi mantiklar , modern mantigin kapsami içindedir.